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    <title>说说红黑树——不谈操作，只讲理解 | 博客主页 | 世界是个球，前方总有路！</title>
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                <time datetime="2020-03-23T15:36:10.000Z" itemprop="datePublished" class="page-time">
  2020-03-23
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	<ul class="article-category-list"><li class="article-category-list-item"><a class="article-category-list-link" href="/blog/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84%E4%B8%8E%E7%AE%97%E6%B3%95/">数据结构与算法</a></li></ul>

            
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            <h4>TOC</h4>
            <ol class="post-toc"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#一、前言"><span class="post-toc-number">1.</span> <span class="post-toc-text">一、前言</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#二、正文"><span class="post-toc-number">2.</span> <span class="post-toc-text">二、正文</span></a><ol class="post-toc-child"><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#emsp-2-1-二叉搜索树和平衡二叉树"><span class="post-toc-number">2.1.</span> <span class="post-toc-text">&amp;emsp; 2.1 二叉搜索树和平衡二叉树</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#emsp-2-2-有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树"><span class="post-toc-number">2.2.</span> <span class="post-toc-text">&amp;emsp; 2.2 有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#emsp-2-3-红黑树的五大性质"><span class="post-toc-number">2.3.</span> <span class="post-toc-text">&amp;emsp; 2.3 红黑树的五大性质</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-3"><a class="post-toc-link" href="#emsp-2-4-红黑树的定理"><span class="post-toc-number">2.4.</span> <span class="post-toc-text">&amp;emsp; 2.4 红黑树的定理</span></a></li></ol></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#三、总结"><span class="post-toc-number">3.</span> <span class="post-toc-text">三、总结</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#四、参考"><span class="post-toc-number">4.</span> <span class="post-toc-text">四、参考</span></a></li></ol>
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<article id="post-说说红黑树——不谈操作，只讲理解"
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        <h1 class="post-card-title">说说红黑树——不谈操作，只讲理解</h1>
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	<ul class="article-category-list"><li class="article-category-list-item"><a class="article-category-list-link" href="/blog/categories/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84%E4%B8%8E%E7%AE%97%E6%B3%95/">数据结构与算法</a></li></ul>



            
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            <h2 id="一、前言"><a href="#一、前言" class="headerlink" title="一、前言"></a>一、前言</h2><p>&emsp;&emsp;这几天想学一学红黑树这种数据结构，于是上网找了很多篇博客，初看吓了一跳，红黑树竟然如此复杂。连续看了几篇博客后，算是对红黑树有了一些了解，但是它的原理却并不是特别理解。网上的博客，千篇一律的都是在叙述红黑树的操作，如何插入节点、删除节点，旋转、变色等，只关注如何正确构建一棵红黑树，但是却很少提及为什么这么做。这篇博客我就来记录一些我所知道的红黑树中比较重要的东西，以及谈一谈我的理解。</p>
<p>&emsp;&emsp;我不会描述红黑树的具体实现，因为阅读红黑树具体实现的过程中，我发现这真的不是很重要，没有太大的意义（这绝对不是自我安慰⊙﹏⊙∥），真正重要的是红黑树的思想。如果想要了解红黑树的具体实现，建议阅读这篇文章：<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/hGHJonK999TAVJakPDNAkg" target="_blank" rel="noopener">https://mp.weixin.qq.com/s/hGHJonK999TAVJakPDNAkg</a></p>
<br>

<h2 id="二、正文"><a href="#二、正文" class="headerlink" title="二、正文"></a>二、正文</h2><h3 id="emsp-2-1-二叉搜索树和平衡二叉树"><a href="#emsp-2-1-二叉搜索树和平衡二叉树" class="headerlink" title="&emsp; 2.1 二叉搜索树和平衡二叉树"></a>&emsp; 2.1 二叉搜索树和平衡二叉树</h3><p>&emsp;&emsp;在谈二叉红黑树之前，先来说一说二叉搜索树以及平衡二叉树，因为平衡二叉树是为了弥补二叉搜索树而发明出来的，而红黑树又是为了弥补平衡二叉树。</p>
<p>&emsp;<strong>（1）二叉搜索树</strong></p>
<p>&emsp;&emsp;二叉搜索树比较简单，它是一棵二叉树，而且满足这样一个性质：<strong>对于树上的每一个节点，它左子树上的节点的值都比它小，而右子树上的节点的值都比它大</strong>。如下，就是一棵二叉搜索树：</p>
<img src="1.jpg" width="500px">



<p>&emsp;&emsp;当我们需要往一棵二叉搜索树中插入节点时，只需要从根节点开始，依次比较，若比根节点小，则向左走，继续和左子节点比较，反之继续和右子节点比较，以此类推。这样的操作其实就和二分差不多，在节点值分布均匀的情况下，也就是树的结构如上所示时，查找的时间复杂度为<code>O（logN）</code>，因为二叉搜索树的查询完全复杂度依赖于树的深度。所以，它有一个很大的缺陷，就是可能出现如下情况：</p>
<img src="2.jpg" width="500px">

<p>&emsp;&emsp;我们每次插入的节点都比最小值要小，于是最终所有的节点就连成了一条链，此时深度为N，查找的时间复杂度就是O（N）了。为了解决这个问题，于是又有了平衡二叉树。关于二叉搜索树，可以参考这个博客：<a href="https://www.jianshu.com/p/ff4b93b088eb" target="_blank" rel="noopener">https://www.jianshu.com/p/ff4b93b088eb</a>。</p>
<br>

<p>&emsp;<strong>（2）平衡二叉树</strong></p>
<p>&emsp;&emsp;平衡二叉树也是一棵二叉搜索树，但是它还有一个性质，就是<strong>这棵树上的每一个节点，其左子树和右子树的高度差都不超过一</strong>。比如图一中的二叉树，它就时一棵平衡二叉树，而下面这张图中的树就不是平衡二叉树，因为节点<code>9</code>和节点<code>5</code>都不平衡，它们的左右子树的高度差都是<code>2</code>。</p>
<img src="3.jpg" width="500px">

<p>&emsp;&emsp;当发生不平衡的情况时，可以通过左旋和右旋的方式，在不改变二叉搜索树的性质的前提下，将树调整为平衡状态，这就是平衡二叉树。对于左旋和右旋的具体实现，我这里就不描述了，想要了解可以参考这篇博客：<a href="https://www.jianshu.com/p/655d83f9ba7b" target="_blank" rel="noopener">https://www.jianshu.com/p/655d83f9ba7b</a>。</p>
<br>

<h3 id="emsp-2-2-有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树"><a href="#emsp-2-2-有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树" class="headerlink" title="&emsp; 2.2 有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树"></a>&emsp; 2.2 有了二叉搜索树和平衡二叉树，为什么还要红黑树</h3><p>&emsp;&emsp;这个问题是一个面试题，下面我就来简单叙述一下。首先，二叉搜索树在极端情况下会变成一个链表，从而导致查询的时间复杂度大大提高，变成线性复杂度，而平衡二叉树正是为了解决这个问题才被发明出来。但是，平衡二叉树也有一定的局限。对于平衡二叉树来说，每个节点的子树的高度差不能超过<code>1</code>，一旦出现违反的情况，就需要进行左旋或者右旋操作，从而调整二叉树的高度。但是，在插入和删除节点的过程中，平衡度超过<code>1</code>是经常发生的事情，这也就导致了调整操作频繁地发生，从而提高时间复杂度。也就是说，这种追求绝对平衡的行为，并不是一个好的做法。</p>
<p>&emsp;&emsp;红黑树的出现正是为了解决平衡二叉树的问题，它是平衡二叉树的变形，或者说升级。红黑树并不追求绝对的平衡，它实现的是近似的平衡，这样破坏规则导致需要调整的情况就会大大减少，而且每次也只需要少量的调整即可恢复。也就是说，他在平衡和效率之间做了一个折中。但是统计发现，这种折中对查找的效率并没有多大的降低，这也就导致了红黑树在大多数情况下要优于平衡二叉树。而红黑树的这种折中，依靠的就是它五条性质，或者说五条约束来实现。</p>
<br>

<h3 id="emsp-2-3-红黑树的五大性质"><a href="#emsp-2-3-红黑树的五大性质" class="headerlink" title="&emsp; 2.3 红黑树的五大性质"></a>&emsp; 2.3 红黑树的五大性质</h3><p>&emsp;&emsp;这里先放出红黑树的五大性质：</p>
<ol>
<li>树中的所有节点，要么是红色，要么是黑色；</li>
<li>树的根节点是黑色；</li>
<li>树中的叶子节点是黑色；（注意：这里的叶子节点不是指没有子节点的节点，而是指的<strong>空节点</strong>，比如某个节点没有左子节点，那这个不存在的左子节点其实就是这里说的叶子节点）</li>
<li>红色节点的子节点一定是黑色，也就是说没有两个连在一起的红色节点；</li>
<li>每个节点到任意一个叶子节点，经过的黑色节点数量是相等的；</li>
</ol>
<p>&emsp;&emsp;这五条性质单独分开来看都很好理解，但是放在一起就有点迷惑了，为什么是这五条性质，它们之间有什么关系？关系肯定是有的，发明红黑树的专家，经过大量的数学推导，理论验证，才组合出这五条性质，它们相辅相成，共同维护了红黑树的结构。就像机器人三大准则一样，相辅相成，完全地约束了机器人的行为。这里就来简单描述几条红黑树的定理，它们都是由上述结论推导而来。</p>
<br>

<h3 id="emsp-2-4-红黑树的定理"><a href="#emsp-2-4-红黑树的定理" class="headerlink" title="&emsp; 2.4 红黑树的定理"></a>&emsp; 2.4 红黑树的定理</h3><p>&emsp;<strong>（1）红黑树从根节点到叶子节点的最长路径，不会大于最短路径的两倍</strong></p>
<p>&emsp;&emsp;这条定理是怎么来的呢？它是通过上面的定理推导而来。我们看上述性质<code>5</code>可知，从根节点到任意一个叶子节点，经过的黑色节点数目是相同的。而性质<code>4</code>又规定，不能有两个红色节点连在一起。于是我们这样考虑，假设从根节点到每个叶子节点，都是经过<code>3</code>个黑色节点，那么怎样才能让路径尽可能长？答案当然是尽量在黑色节点中插入红色节点，用红色节点充数。但是由于性质<code>4</code>，所以红色节点不能多放。于是，理论上的最长路径，一定是一个黑节点，连着一个红节点，再连着一个黑节点，以此类推。我们之前假设每条路径都是<code>3</code>个黑节点，再加上性质<code>2</code>说根节点一定是黑色，所以从根节点到子节点最多只能有<code>6</code>个节点，三黑三红交叉连接。那理论上的最短路径又是如何？当然是不包含任何一个红色节点，也就是只有<code>3</code>个黑节点。也就是说，理论上，最长路径，最多是最短路径的两倍。这个结论就限制了红黑树的最大平衡差，也就保证了不会出现图二这种情况。</p>
<p>&emsp;<strong>（2）一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)</strong></p>
<p>&emsp;&emsp;这个结论是经过一系列数学推导得出的，比较复杂，我也没有仔细研究过，想要了解的可以看看这篇博客：<a href="https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html#a2" target="_blank" rel="noopener">https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3245399.html#a2</a>。</p>
<p>&emsp;&emsp;从这个结论可以看出什么？红黑树也是一个二叉搜索树，而二叉搜索树的查找次数取决于树的深度。此结论说明红黑树的高度至多为<code>2log(n+1)</code>，也就是说红黑树的查找效率也是<code>O（logn）</code>级别的，和平衡二叉树近似，再加上红黑树的调整平衡的次数相对较少，所以总体来说，红黑树要优于平衡二叉树。</p>
<br>

<h2 id="三、总结"><a href="#三、总结" class="headerlink" title="三、总结"></a>三、总结</h2><p>&emsp;&emsp;最后我忍不住吐槽一下，我看了大量红黑树的讲解博客，都是千篇一律的在描述如何操作构建一棵红黑树，如何操作能够不违反红黑树的这五条性质，一旦讲完操作就戛然而止。在学习红黑树时，我硬着头皮把红黑树的操作看完，才发现这些操作根本没有太大的意义，它们只不过是列举操作红黑树的各种情况，告诉你什么时候应该怎么做而已，而你只能背下这些操作，但是完全不能理解这些操作有什么意义，只知道它们唯一的作用就是维持这五大性质。仿佛将红黑树的操作实现强行记下，写出代码，就是学会了红黑树，理解了红黑树。可是实际上，这五条性质只是结论，只是他人研究的最终产物罢了，而红黑树仅仅是在使用这些结论。如果只是学会了红黑树的实现方式，仅仅只是在使用这些结论，和调<code>API</code>有什么区别。但是，网上的博客都是千篇一律，偏偏标题取得是一个比一个厉害，什么《学会红黑树这一篇就够了》，《十分钟彻底理解红黑树》，《看完这篇博客，再也不怕面试管问红黑树了》……这些标题的博客数不胜数，但是内容却都是在介绍操作，极少叙述思想。一想到我花了大量时间，最后发现自己看的都是些意义不大的实现细节，就感觉对不起自己。</p>
<p>&emsp;&emsp;我个人认为，学习算法和数据结构，真正重要的是理解它的思想，而不是如何做。说句实话，如果不是做算法相关的工作，工作中真的需要我们自己写红黑树吗？可以说基本上不可能用到。当然，不是说研究具体实现是一种错误的行为，研究算法和数据结构的实现能够锻炼自己的编码能力，是有好处的。但是大部分人是为了学习数据结构本身，如果只学会了写代码，不知道原理，那就有点本末倒置了，而且很快就会忘记。</p>
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<h2 id="四、参考"><a href="#四、参考" class="headerlink" title="四、参考"></a>四、参考</h2><ul>
<li><a href="https://www.cnblogs.com/gofighting/p/5437998.html" target="_blank" rel="noopener">https://www.cnblogs.com/gofighting/p/5437998.html</a></li>
<li><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/p_fEMMNjlnPbbwY9dDQMAQ" target="_blank" rel="noopener">https://mp.weixin.qq.com/s/p_fEMMNjlnPbbwY9dDQMAQ</a></li>
</ul>

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